Topología: el plano proyectivo

 El plano proyectivo de una imagen

El plano proyectivo es una superficie matemática que se puede utilizar para representar una imagen en perspectiva. 

 Definición del plano proyectivo

El plano proyectivo es el conjunto de todas las líneas que pasan por el origen en un espacio vectorial de tres dimensiones. Cada línea corresponde a un punto en el plano proyectivo.

Proyección de una imagen al plano proyectivo

Imaginemos que tenemos una escena 3D y una cámara con un punto focal en el origen. Cada punto en la escena se proyecta sobre una línea que pasa por el punto focal. Estas líneas de proyección intersectan al plano de la imagen en puntos.

Si mapeamos cada línea de proyección a un punto en el plano proyectivo, obtenemos una representación de la imagen en perspectiva sobre el plano proyectivo. Todos los puntos en la escena 3D que se proyectan sobre el mismo punto en la imagen corresponden a la misma línea en el plano proyectivo.

Propiedades del plano proyectivo

El plano proyectivo tiene algunas propiedades interesantes:

- Es una superficie cerrada (sin bordes) con una sola cara.

- No es orientable, es decir, no tiene una orientación consistente.

- Contiene una banda de Möbius.

- No se puede representar en el espacio 3D sin autointersecciones.

Aplicaciones

El plano proyectivo es útil para el análisis de imágenes en perspectiva. Permite trabajar con propiedades geométricas de la proyección que son invariantes bajo cambios de punto de vista, como relaciones de incidencia entre puntos y líneas.

También tiene aplicaciones en geometría algebraica, topología y física teórica. Por ejemplo, en relatividad general, el espacio-tiempo se modela como un espacio proyectivo.

En resumen, el plano proyectivo es una estructura matemática que formaliza la proyección de una escena 3D sobre una imagen 2D, y permite estudiar las propiedades geométricas de la perspectiva. Es una superficie fascinante con interesantes propiedades topológicas.

Referencias:

El plano proyectivo visto como un disco y una cinta de Möbius ... https://topologia.wordpress.com/2008/12/25/5-el-plano-proyectivo-y-la-cinta-de-mobius/

TOPOLOGIA DEL PLANO PROYECTIVO 2 - YouTube https://www.youtube.com/watch?v=oB8NdVztPuY

El toro, la botella de Klein y el plano proyectivo real (III) https://culturacientifica.com/2023/11/29/el-plano-proyectivo-real-iii/

Modelos topológicos del plano proyectivo real | Jesús M. Ruiz http://blogs.mat.ucm.es/jesusr/expogeopro/modelostop/

Espacio proyectivo - Wikipedia, la enciclopedia libre https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_proyectivo

[PDF] El plano afin y el plano proyectivo. https://www.matem.unam.mx/~max/GP/N2.pdf

 Plano proyectivo real - Wikipedia, la enciclopedia libre https://es.wikipedia.org/wiki/Plano_proyectivo_real

 [PDF] 2. El plano proyectivo y las transformaciones proyectivas https://www.matem.unam.mx/~max/Minicursos/GP/Geometria%20proyectiva2.pdf